歐拉公式證明

2018-07-25 23:22:31 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　歐拉公式證明！在任何一個規(guī)則球面地圖上，用 R記區(qū)域個數(shù) ，V記頂點個數(shù) ，E記邊界個數(shù) ，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理，它于 1640年由 Descartes首先給出證明，后來 Euler(歐拉 )于 1752年又獨立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為 Descartes定理。下面為大家分享歐拉公式證明!希望能幫到大家！

用數(shù)學(xué)歸納法證明

( 1)當 R= 2時，由說明 1,這兩個區(qū)域可想象為以赤道為邊界的兩個半球面，赤道上有兩個“頂點” 將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2;于是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。

( 2)設(shè) R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立，下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立。

由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個區(qū)域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區(qū)域 Y ，使得在去掉 X 和 Y 之間的先進一條邊界后，地圖上只有 m 個區(qū)域了;在去掉 X 和 Y 之間的邊界后，若原該邊界兩端的頂點現(xiàn)在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點，則該頂點保留，同時其他的邊界數(shù)不變;若原該邊界一端或兩端的頂點現(xiàn)在成為 2條邊界的頂點，則去掉該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。于是 ,在去掉 X 和 Y之間的先進一條邊界時只有三種情況：

①減少一個區(qū)域和一條邊界;

②減少一個區(qū) 域、一個頂點和兩條邊界;

③減少一個區(qū)域、兩個頂點和三條邊界;

即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不論何種情況都必定有“減少的區(qū)域數(shù) + 減少的頂點數(shù) = 減少的邊界數(shù)”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了，在這一過程中必然是“增加的區(qū)域數(shù) + 增加的頂點數(shù) = 增加的邊界數(shù)”。

因此，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對于任何正整數(shù) R≥2,歐拉定理成立。

柯西的證明

先進個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網(wǎng)絡(luò)。不失一般性，可以假設(shè)變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的外部。)

重復(fù)一系列可以簡化網(wǎng)絡(luò)卻不改變其歐拉數(shù)(也是歐拉示性數(shù)) 的額外變換。