數(shù)學專項輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求

2018-11-15 18:55:42 　來源：搜狐教育專區(qū)

　　數(shù)學專項輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求剛進入高中，同學們反應(yīng)高中數(shù)學好難學。其實各門學科都是萬變不離其宗，只要同學們記住知識點，掌握解題方法，難題就迎刃而解了。下面跟隨愛智康高中部老師一起學習一下數(shù)學專項輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求希望對同學們有幫助！

　　數(shù)學專項輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求

　　作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?我們當然要盡可能地使它符合一般的關(guān)于“大小”的常識和直覺，其中有許多是要比“整體大于部分”更加要緊的。

　　首先，一個集合的大小只應(yīng)該取決于這個集合本身。

　　我們知道一個集合可以用多種方法來構(gòu)造和表示，比如說，

　　A={小于等于2的正整數(shù)｝

　　B={1, 2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其實都是同一個集合，

　　D={n | n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數(shù)解｝

　　又怎么樣呢?1996年英國數(shù)學家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它里面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素先進決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。

　　一個集合得和自己一樣大，這個沒有什么好說的;

　　其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

　　第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學上，我們稱滿足這三個條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴格地說，這個偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關(guān)系定義出的等價類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴格定義的敘述和上面所說的也有區(qū)別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個注在講什么也不要緊)。如果一個關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應(yīng)原則的定義!

　　舉個例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關(guān)系并不要求任意兩個對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當然不能和克拉克這樣的優(yōu)秀科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一個中國人，我對中國的科幻創(chuàng)作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣——所以更確切地也許應(yīng)該說，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。

　　不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。

　　較后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。

　　“整體大于部分”原則的困難和一一對應(yīng)原則的優(yōu)點

　　滿足上面幾條要求的定義，較簡單的就是認為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因為所對應(yīng)的集合都是無限集合。

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然后在上面我們每隔一厘米畫一個點，并在每個點旁邊標上1、2、3……等，這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點就是代表自然數(shù)的那些點，所以這些點的個數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順著上面的思路，這些點的個數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

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