高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)不等式之柯西不等式，北京高考必看

2020-04-24 16:00:43 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解�？稍谧C明不等式，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)較值，解方程等問(wèn)題的方面得到應(yīng)用

　　柯西不等式的一般證法有以下幾種：

　　■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

　　我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

　　則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.

　　用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

　　于是移項(xiàng)得到結(jié)論。

　　■②用向量來(lái)證.

　　m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

　　mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.

　　因?yàn)閏osX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

　　這就證明了不等式.

　　柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法.

　　[編輯本段]【柯西不等式的應(yīng)用】

　　柯西不等式在求某些函數(shù)較值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

　　■巧拆常數(shù)：

　　例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。

　　求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

　　分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù)

　　∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

　　又 9=(1+1+1)(1+1+1)

　　證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

　　又 a、b 、c 各不相等，故等號(hào)不能成立

　　∴原不等式成立。

　　排序不等式是高中數(shù)學(xué)大綱、新課標(biāo) 要求的基本不等式。

　　設(shè)有兩組數(shù) a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 滿足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 則有 a 1 b n + a 2 b n-1+……+ a n b 1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一個(gè)排列，當(dāng)且僅當(dāng) a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 時(shí)成立。

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