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等差數(shù)列

2018-07-27 17:12:46  來源:網(wǎng)絡整理

  等差數(shù)列!等差數(shù)列的高中數(shù)學的重難點,不少同學們表示等差數(shù)列很難。等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列!愛智康小編今天就為大家等差數(shù)列!希望可以幫助大家。

 

 


  等差數(shù)列


  圖片2


  推論:


  (1)從通項公式可以看出,a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0),(n,an)排在一條直線上,由前n項和公式知,S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0,a1≠0),且常數(shù)項為0。


  (2)從等差數(shù)列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(類似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。


  (3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數(shù)列,等等。若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)。


  證明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因為m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。


  (4)其他推論:


  ① 和=(首項+末項)×項數(shù)÷2;


 、陧棓(shù)=(末項-首項)÷公差+1;


  ③首項=2x和÷項數(shù)-末項或末項-公差×(項數(shù)-1);


 、苣╉=2x和÷項數(shù)-首項;


  ⑤末項=首項+(項數(shù)-1)×公差;


 、2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。


  等差中項:


  等差中項即等差數(shù)列頭尾兩項的和的一半,但求等差中項不一定要知道頭尾兩項。等差數(shù)列中,等差中項一般設(shè)為A(r)。當A(m),A(r),A(n)成等差數(shù)列時,A(m)+A(n)=2×A(r),所以A(r)為A(m)、A(n)的等差中項,且為數(shù)列的平均數(shù)。并且可以推知n+m=2×r,且任意兩項a(m)、a(n)的關(guān)系為:a(n)=a(m)+(n-m)*d,(類似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1),相當容易證明,它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。


  等差數(shù)列的應用日常生活中,人們常常用到等差數(shù)列如:在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時,當其中的較大尺寸與較小尺寸相差不大時,常按等差數(shù)列進行分級。若為等差數(shù)列,且有a(n)=m,a(m)=n。則a(m+n)=0。


  其實,中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了:今有女子不善織布,逐日所織的布以同數(shù)遞減,初日織五尺,末一日織一尺,計織三十日,問共織幾何?書中的解法是:并初、末日織布數(shù),半之,余以乘織訖日數(shù),即得。這相當于給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。


  等差數(shù)列的判定:


  (1)a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。


  (2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。


  (3)a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。


  (4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù),A不為0,n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。


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