高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)

2019-01-15 23:03:22 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)！元旦過后就是緊張的期末診斷了。冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)大家都記熟練了嗎？大家學(xué)習(xí)東西比較多的情況下，要學(xué)會對比記憶。愛智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)希望對同學(xué)們有幫助！

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　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)(一)

　　形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　定義域和值域:

　　當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還

　　必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。

　　當(dāng)x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：

　　在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)(二)

　　性質(zhì):

　　對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數(shù);

　　排除了為0這種可能，即對于x<0和x>0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù);

　　排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

　　總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。

　　在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在先進象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

　　(2)當(dāng)a大于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

　　(3)當(dāng)a大于1時，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。

　　(4)當(dāng)a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函數(shù)過(0，0);a小于0，函數(shù)不過(0，0)點。

　　(6)顯然冪函數(shù)無界。

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)(三)

　　概念：形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　特性：對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)(即p、q互質(zhì))，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)a是負(fù)整數(shù)時，設(shè)a=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：a小于0時，x不等于0;q為偶數(shù)時，x不小于0;q為奇數(shù)時，x取R。

　　定義域與值域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1.如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);2.如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1.在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。 2.在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

　　先進象限的特殊性：(1)所有的圖形都通過(1，1)這點.(a≠0) a>0時圖象過點(0，0)和(1，1)(2)當(dāng)a大于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞增為增函數(shù)，而a小于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減為減函數(shù)。(3)當(dāng)a大于1時，冪函數(shù)圖形下凸(豎拋);當(dāng)a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋)。當(dāng)a小于0時，圖像為雙曲線。(4)當(dāng)a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。(5)顯然冪函數(shù)無界限。(6)a=2n,該函數(shù)為偶函數(shù) {x|x≠0}。

　　圖象：①當(dāng)a≤-1且a為奇數(shù)時，函數(shù)在先進、第三象限為減函數(shù)②當(dāng)a≤-1且a為偶數(shù)時，函數(shù)在第二象限為增函數(shù)，先進象限為減函數(shù)③當(dāng)a=0且x不為0時，函數(shù)圖象平行于x軸且y=1、但不過(0,1) ④當(dāng)0

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