高中函數(shù)分類

2021-09-21 12:10:56 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

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高中函數(shù)分類！知識的學(xué)習(xí)重在理解，而理解只能通過思考才能實(shí)現(xiàn)，思考的源泉是問題，在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意不要輕易放過任何問題，有了問題不要急于問人，應(yīng)力求獨(dú)力思考，自己動(dòng)手動(dòng)腦去尋找問題的正確答案，這樣做才有利于思考能力的提高，下面，小編為大家?guī)?span style="color:#f00;">高中函數(shù)分類。

知識點(diǎn)1：單調(diào)性

一、單調(diào)性的證明方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法

1、定義法：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；

②作差f(x1)－f(x2)，并適當(dāng)變形(“分解因式”、配方成同號項(xiàng)的和等)；

③依據(jù)差式的符號確定其增減性。

2、導(dǎo)數(shù)法：

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)。如果f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)。

補(bǔ)充

a.若使得f′(x)=0的x的值只有有限個(gè)，則如果f ′(x)≥0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x) ≤0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)。

b.單調(diào)性的判斷方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)、用已知函數(shù)的單調(diào)性等。

二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論

1、若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)仍為增(減)函數(shù)。

2、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性。

3、y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為增函數(shù)；若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為減函數(shù)，簡稱”同增異減”。

4、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反。

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I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax^2+bx+c

(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

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