小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)行程問題分類討論

2010-06-08 12:00:20 　來源：網(wǎng)絡(luò)資源

小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)行程問題分類討論-智康1對1

　　小學(xué)數(shù)學(xué)的行程問題是小學(xué)診斷和小學(xué)四大全國數(shù)學(xué)邀請診斷（華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽、走進美妙的數(shù)學(xué)花園、北京數(shù)學(xué)花園探秘試題、“希望”全國數(shù)學(xué)邀請賽）四大題型之一(、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對獨特的解題方法�，F(xiàn)根據(jù)四大全國數(shù)學(xué)邀請診斷的試題研究和主流教材將小學(xué)數(shù)學(xué)行程問題的小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。

　　一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(同時、異時)、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在全國數(shù)學(xué)邀請診斷中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標準解法，即s=v×t結(jié)合標準畫圖(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無法展開，但這是診斷中較常碰到的，希望高手做更為細致的分類。

　　二、復(fù)雜相遇追及問題。

　　(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個運動對象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對復(fù)雜點，關(guān)鍵是標準畫圖的能力能否清楚表明三者的運動狀態(tài)。

　　(2)多次相遇追及問題。即兩個人在一段路程中同時同地或者同時異地反復(fù)相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標準型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點距特定地點的距離或者在規(guī)定時間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個周期后，即兩者都回到初始點時相遇、追及的次數(shù))。

　　標準型解法固定，不能從路程入手，將會很繁，較好一開始就用求單位相遇、追及時間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個感性認識，無法具體得出答案，除非是非診斷時間仔細畫標準尺寸圖。

　　一般用到的時間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見，所以不贅述)：

　　單程相遇時間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)

　　單程追及時間：t單程追及=s/(v甲-v乙)

　　第n次相遇時間：Tn= t單程相遇×(2n-1)

　　第m次追及時間：Tm= t單程追及×(2m-1)

　　限定時間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=[ (Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇]

　　限定時間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=[ (Tm+ t單程追及)/2 t單程追及]

　　注：[]是取整符號

　　之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運動方向搞錯了。

　　簡單例題：甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時30千米，乙車的速度是每小時20千米，問(1)第二次迎面相遇后又經(jīng)過多長時間甲、乙追及相遇?(2)相遇時距離中點多少千米?(3)50小時內(nèi)，甲乙兩車共迎面相遇多少次?

　　三、火車問題。特點無非是涉及到車長，相對容易。小題型分為：

　　(1)火車vs點(靜止的，如電線桿和運動的，如人)s火車=(v火車 ±v人)×t經(jīng)過

　　(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運動的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經(jīng)過和s火車1+s火車2=(v火車1±v火車2)×t經(jīng)過

　　合并(1)和(2)來理解即s和=v相對×t經(jīng)過把電線桿、人的水平長度想象為0即可�；疖噯栴}足見基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。

　　(3)坐在火車里。本身所在火車的車長就形同虛設(shè)了，注意的是相對速度的。電線桿、橋、隧道的速度為0(弱智結(jié)論)。

　　四、流水行船問題。理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個公式(順水船速=靜水船速+水流速度)就可以順勢理解和推導(dǎo)出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(順水船速-逆水船速)÷2)，對于流水問題也就夠了。技巧性結(jié)論如下：

　　(1)相遇追及。水流速度對于相遇追及的時間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。

　　(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時間段)與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。

　　例題：一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同�？痛霭l(fā)時有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米�？痛谛旭�20千米后掉頭追趕此物品，追上時恰好和貨船相遇。求水流速度。

　　五、間隔發(fā)車問題。空間理解稍顯困難，證明過程對助力解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。

　　(1)在班車里。即柳卡問題。不用基本公式解決，助力的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

　　例題：A、B是公共汽車的兩個車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點到11點從A、B兩站每隔30分同時相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問8：30、9：00從A站發(fā)車的司機分別能看到幾輛從B站開來的汽車?

　　(2)在班車外。聯(lián)立3個基本公式好使。

　　汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時間間隔------1

　　汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時間間隔------2

　　汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時間間隔------3

　　1、2合并理解，即

　　汽車間距=相對速度×時間間隔

　　分為2個小題型：1、一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答;2、求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標準方法是：畫圖-盡可能多的列3個好使公式-結(jié)合s全程=v×t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。

　　例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會的路上注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，于是只好坐出租車去小寶家。這時小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車?

　　六、平均速度問題。相對容易的題型。大公式要牢牢記�。嚎偮烦�=平均速度×總時間。用s=v×t寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問題的統(tǒng)一解決方案。

　　七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇，不展開了。

　　八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申�；娟P(guān)系式：v分針= 12v時針

　　(1)總結(jié)記憶：時針每分鐘走1/12格，0.5°;分針每分鐘走1格，6°。時針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結(jié))。

　　(2)基本解題思路：路程差思路。即

　　格或角(分針)=格或角(時針)+格或角(差)

　　格：x=x/12+(開始時落后時針的格+終止時超過時針的格)

　　角：6x=x/2+(開始時落后時針的角度+終止時超過時針的角度)

　　可以解決大部分時針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個格中間，和哪一個時刻形成多少角度。

　　例題：在9點23分時，時針和分針的夾角是多少度?從這一時刻開始，經(jīng)過多少分鐘，時針和分針先進次垂直?

　　(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了，有相應(yīng)的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有難度。

　　九、自動扶梯問題。仍然用基本關(guān)系式s扶梯級數(shù)=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解決較漂亮。這里的路程單位全部是“級”，要注意的是t上或下要表示成實際走的級數(shù)/人的速度�？梢訮K掉絕大部分自動扶梯問題。

　　例題：商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級?

　　十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實實把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。

　　十一、校車問題。就是這樣一類題：隊伍多，校車少，校車來回接送，隊伍不斷步行和坐車，較終同時到達目的地(即到達目的地的較短時間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來回不同)、班級速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。

　　(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(較常見)

　　(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個

　　(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個

　　(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個

　　標準解法：畫圖-列3個式子：1、總時間=一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間;2、班車走的總路程;3、一個隊伍步行的時間=班車同時出發(fā)后回來接它的時間。較后會得到幾個路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類問題可以得到幾個公式，但實話說公式無法記憶，因為相對復(fù)雜，只能臨考時抱佛腳還管點兒用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不要死記硬背。

　　簡單例題：甲班與乙班孩子同時從學(xué)校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時4千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的孩子。為了使兩班孩子在較短時間內(nèi)到達公園，那么甲班孩子與乙班孩子需要步行的距離是多少千米?

　　十二、助力往返類。簡單例題：A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人較多可以攜帶一個人24天的食物和水。如果不準將部分食物存放于途中，其中一個人較遠可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點)?這類問題其實屬于智能應(yīng)用題類。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便診斷助力作答。每人可以帶夠t天的食物，較遠可以走的時間T

　　(1)返回類。(助力一個人走的較遠，所有人都要活著回來)

　　1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。

　　2、多人：沒搞明白，建議高手補充。

　　(2)穿沙漠類(助力一個人穿過沙漠不回來了，其他人都要活著回來)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。

　　1、中途不放食物：T≤[2n/(n+1)]×t。T是穿沙漠需要的天數(shù)。

　　2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+…+1/(2n-1))×t

　　還有幾類不甚常見的雜題，沒有典型性和代表性，在此不贅述。希望大家完善以上的題型分類，因為小學(xué)數(shù)學(xué)好玩。

更多小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)典型問題解析相關(guān)的文章：

智康內(nèi)部小學(xué)數(shù)學(xué)教研試題及答案--行程(一)

智康內(nèi)部小學(xué)數(shù)學(xué)教研試題及答案--行程(二)

智康內(nèi)部小學(xué)數(shù)學(xué)教研試題及答案--行程(三)

智康內(nèi)部小學(xué)數(shù)學(xué)教研試題及答案--行程(四)